等差数列知识点汇总[1]

等差数列综合复习

一、基础知识

1．定义：an?1?an?d(常数)(n?N)

2．通项公式：an?a1?(n?1)d，推广：an?am?(n?m)d

d=an?a1a?am，d=n是点列（n，an）所在直线的斜率. n?mn?1

3．前n项的和：Sn?

变式：n(a1?an)ddn(n?1)?na1?d?n2?(a1?)n 2222a1?anSn= n2

4．等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c

5．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则

(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq

(2) an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.

(3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.

(4)当n=2k-1为奇数时，Sn=nak；S奇=kak，S偶=(k-1)ak (ak=a中)

6．等差数列的判定方法(n∈N*)

(1)定义法: an+1-an=d是常数 (2)等差中项法:2an?1?an?an?2

(3)通项法:an?a1?(n?1)d (4)前n项和法:Sn?An2?Bn

7．a1,d,n,an,Sn知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,

三数:a?d,a,a?d, 四数a?3d,a?d,a?d,a?3d

二、典型例题

1.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若Sna2n=,则11=_________. b11Tn3n?1

2.在等差数列{an}中,am=n,an=m,则am+n的值为 （0）

3.等差数列{an}的前n项和Sm?n，前m项和Sn?m，则前m+n项和Sm?n???m?n?

4. 若{an}是等差数列，首项a1?0,a20xx?a20xx?0,a20xx.a20xx?0，则使前n项和

Sn?0成立的最大自然数n是：

（ ） A．4005 B．4006 C．4007 D．4008

三、练习题：

1 已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ 6 ）

2设Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?35，则a4?（5）

3等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15=p是一常数，则S13

4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和

为390，则这个数列有（ 13 ）

5.设Sn是等差数列?an?的前n项和，若a55S?,则9?（ 1 ） a39S5

6.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 ( 3 )

7.在等差数列{an}中，公差为1，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100=___85___ 2

1，a2?a5?4，an?33，则n为（ 50） 3

9.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d?0，则( B ) 8.等差数列{an}中，已知a1?

（A）a1a8?a4a5 （B）a8a1?a4a5 （C）a1+a8?a4+a5 （D）a1a8=a4a5

10.已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a511.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10?30,a20?50.（1）求通项an；（2）若Sn=242，求n

12.设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a11?a12?a13? （105）

13.记等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4，S4?20，则该数列的公差d=（3 ）

14.在等差数列?an?中,已知a4?9,a9??6,Sn?63,则

15.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（10 ）

16.设Sn是等差数列?an?的前n项和，若3s31s?，则6? ( ) 10s63s12

D.17 17.在等差数列{an}中，若S9=18,Sn=240,an－4=30,则n的值为（ ）

A.14 B.15 C.16

18.设数列?an?的首项a1??7,且满足an?1?an?2 (n?N)，则a1?a2???a17?_ 153_

?5n2?n19.已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= 2

20.已知数列{an}是一个等差数列，且a2?1，a5??5。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}

前n项和Sn的最大值。

21.设?an?为等差数列，Sn为数列?an?的前n项和，已知S7?7，S15?75，Tn为数列?的前n项和，求Tn ?Sn??n??

22.等差数列{an}中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n项和为187, 则n的值为____________.

第二篇：等差数列知识点汇总[1]

1．定义：an?1?an?d(常数)(n?N)

2．通项公式：an?a1?(n?1)d，推广：an?am?(n?m)d d=

an?a1n?1

，d=

an?amn?m

是点列（n，an）所在直线的斜率.

?na1?

n(n?1)2

d?

d2

n?(a1?

2

3．前n项的和：Sn?变式：

a1?an

2

n(a1?an)

2

d2

)n

=

Snn

4．等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c 5．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则 (1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq

(2) an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.

2

(3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n……组成公差为nd的等差数列.

(4)当n=2k-1为奇数时，Sn=nak；S奇=kak，S偶=(k-1)ak (ak=a中)

6．等差数列的判定方法(n∈N*)

(1)定义法: an+1-an=d是常数 (2)等差中项法:2an?1?an?an?2

2

(3)通项法:an?a1?(n?1)d (4)前n项和法:Sn?An?Bn

7．a1,d,n,an,Sn知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 三数:a?d,a,a?d, 四数a?3d,a?d,a?d,a?3d 1 等差中项

1 已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ 6 ）

2设Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?35，则a4?（5）

3等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15=p是一常数，则S13 2等差数列的性质

1若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和 为390，则这个数列有（ 13 ） 2设Sn是等差数列?an?的前n项和，若

a5a3

?59,则

S9S5

?（ 1 ）

3若数列{an}是等差数列，首项a1?0,a20xx?a20xx?0,a20xx.a20xx?0，则使前n项和Sn?0

成立的最大自然数n是： （ 4006 ）

4已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 ( 3 )

5在等差数列{an}中，公差为，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100=___85___

21

3等差数列的通项公式

1等差数列{an}中，已知a1?

13

，a2?a5?4，an?33，则n为（ 50）

2如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d?0，则( B ) （A）a1a8?a4a5 （B）a8a1?a4a5 （C）a1+a8?a4+a5 （D）a1a8=a4a5

3已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5

4等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10?30,a20?50.（1）求通项an；（2）若Sn=242，求n

5设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a11?a12?a13? （105）

6在等差数列{an}中,am=n,an=m,则am+n的值为 （0）

4等差数列的前n项和

1记等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4，S4?20，则该数列的公差d=（3 ）

1在等差数列?an?中,已知a4?9,a9??6,Sn?63,则n= 6或7 .

2等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（10 ） 3设Sn是等差数列?an?的前n项和，若

s3s6

?13

，则

s6s12

? (

310

)

4设数列?an?的首项a1??7,且满足an?1?an?2 (n?N)，则a1?a2???a17?_ 153_ 5已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn=

6已知数列{an}是一个等差数列，且a2?1，a5??5。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前n项和Sn的最大值。

7设?an?为等差数列，Sn为数列?an?的前n项和，已知S7?7，S15?75，Tn为数列?前n项和，求Tn

?Sn?

?的n??

?5n

2

?n

2

第三篇：等差数列知识点总结及练习(含答案)

1.等差数列的定义：an?an?12．等差数列通项公式：

等差数列的性质总结

（n?2）； ?d（d为常数）

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d?3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?

（2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2 4．等差数列的前n项和公式：

a?b

或2A?a?b 2

an?am

；

n?m

n(a1?an)n(n?1)

?na1?d 22

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项 Sn?

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?

（2） 等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2． （3） 数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。 6．等差数列的证明方法

定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?

（4） 数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。

8. 等差数列的性质： （1）当公差d?0时，

等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

n(n?1)dd

d?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222

（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 （3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.

前n和Sn?na1?

注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，

（4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列 (5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列 （7）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，

*

S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?

n?a1?a2n?1?

?nan

2n?a2?a2n?

S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1

2

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd

S奇nana??n S偶nan?1an?1

2、当项数为奇数2n?1时，则 ?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1

??? ??

S?S?aS?naS偶nn+1n+1?奇偶偶???

等差数列练习： 一、选择题

1.已知为等差数列，a1

?a3?a5?105,a2?a4?a6?99，则a20等于（ ）

A. -1 B. 1 C. 3 D.7

2.设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于( )

A．1 B.

5

3

C. - 2 D. 3 4.已知?an?为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝( )

A.－2 B.－

11

2 C.2

D.2 5.若等差数列{an}的前5项和S5?25，且a2?3，则a7?( )

A.12 B.13 C.14 D.15 6.在等差数列?an?中， a2?a8?4,则 其前9项的和S9等于 （ ）

A．18 B 27 C 36 D 9

7.已知{an}是等差数列，a1?a2?4，a7?a8?28，则该数列前10项和S10等于（ A．64 B．100 C．110 D．120 8.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1?

1

2

，S4?20，则S6?（ ） A．16 B．24 C．36 D．48 9.等差数列?an?的前n项和为Sx若a2?1,a3?3,则S4＝（ ）

A．12 B．10 C．8 D．6

10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（ ）A．63 B．45 C．36 D．27

11.已知等差数列{an}中，a7?a9?16,a4?1,则a12的值是 （ ） A．15

B．30

C．31

D．64

6.在等差数列?an?中， a5?a13?40，则 a8?a9?a10?（ ）。

A．72 B．60 C．48 D．36

1、等差数列?an?中，S10?120，那么a1?a10?（ ）

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

2、已知等差数列?an?，an?2n?19，那么这个数列的前n项和sn（ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列?a1

n?的公差d?2

，a2?a4???a100?80，那么S100? A．80 B．120

C．135

D．160．

4、已知等差数列?an?中，a2?a5?a9?a12?60，那么S13? A．390 B．195 C．180 D．120

5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）

A. 0 B. 90 C. 180 D. 360

6、等差数列?an?的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )

A. 130 B. 170 C. 210 D. 260

）

7、在等差数列?an?中，a2??6，a8?6，若数列?an?的前n项和为Sn，则（ ） A.S4?S5 B.S4?S5 C. S6?S5 D. S6?S5

8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n项之和n为，且前n个偶数项的和为n2(4n?3)，则前n个奇数项的和为（ ） A．?3n2(n?1) B．n2(4n?3)

C．?3n D．

2

3

13

n 2

10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12

1．一个等差数列的第6项等于13，前5项之和等于20，那么 （ ） （A）它的首项是-2，公差是3 （B）它的首项是2，公差是-3 （C）它的首项是-3，公差是2 （D）它的首项是3，公差是-2

2．在等差数列{an}中，已知前15项之和S15=60，那么a8= （ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6

3．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=250，则a2+a8的值等于 （ ） （A）50 （B）100 （C0150 （D）200 4．设{an}是公差为d=-

1

2

的等差数列，如果a1+a4+a7…+a58=50，那么a3+a6+a9+…+a60=（ ） 40 （C）60 （D）70

5．等差数列{an}中，a1+a4+a7=36，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为 （ ） （A）21 （B）24 （C）27 （D）30

6．一个数列的前n项之和为S2

n=3n+2n,那么它的第n(n≥２)项为 （ ）

（Ａ）３ｎ２ （Ｂ）３ｎ２

＋３ｎ （Ｃ）６ｎ＋１ （Ｄ）６ｎ－１

7．首项是

1

25，第１０项为开始比１大的项，则此等差数列的公差ｄ的范围是（ ） （Ａ）ｄ＞875 （Ｂ）ｄ＜325（Ｃ）875＜ｄ＜325 （Ｄ）875

＜ｄ≤3

25

8. 设｛a*

n｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，

则下列结论错误．．

的是（ ） A. d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值

9．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，

则这个数列有（ ） 、 A.13项 B.12项 C.11项 D.10项

10.设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.6 11.已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…＋a101＝0，则有（ ）

A. a1＋a101＞0 B. a2＋a100＜0 C. a3＋a99＝0 D.a51＝51 12．在等比数列{an} 中，a9?a10?a,(a?0)

a19?a20?b,则a99?a100? （ ）A．b9b9b10

b10a8 B．a9 C．a

9 D． (a)

13.若lg2、lg(2x

-1)、lg(2x

+3)成等差数列,则x的值等于( )

A. 0 B. log25 C. 32 D. 0或32 14.若数列{an},已知a1=2,an+1=an+2n(n≥1),则a100的值为( )

A）30 （B）（

A. 9900 B. 9902 C. 9904 D. 10100

1、若等差数列{an}的前三项和S3?9且a1?1，则a2等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

2、等差数列?an?的前n项和为Sn若a2?1,a3?3,则S4＝（ ） A．12 B．10 C．8 D．6

3、等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?2,S4?10,则S6等于（ ） A．12 B．18 C．24 D．42

4、若等差数列共有2n?1项n?N*，且奇数项的和为44，偶数项的和为33， 则项数为 （ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

5、设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80，， 则a11?a12?a13? （ ）

A． 120 B． 105 C． 90 D．75

??

1

，且S100?145，则a2?a4?a6???a100?（ ） 2145

A. 60 B. 85 C. D. 其它值

2

6、若数列?an?为等差数列，公差为

7、一个五边形的内角度数成等差数列，且最小角是46，则最大角是（ ） A. 108 B. 139 C. 144 D. 170

8、等差数列?an?共有3m项，若前2m项的和为200，前3m项的和为225，则中间m项的和为 （ ） A. 50 B. 75 C. 100 D. 125 二、填空题

1、等差数列?an?中，若a6?a3?a8，则s9?2、等差数列?an?中，若Sn?3n2?2n，则公差d?3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是

4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3?a7??12,a4?a6??4，则前10项的和S10= 5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为

?

?

?

?

?

25

，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是 2

16．已知等差数列{an}的公差是正数,则a2·a6=-12,a3+a5=-4,则前20项的和S20的值是_____. 17. 设数列｛an｝的通项为an＝2n－7（n∈N），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ ． 18．等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,则S19=___________. 19.有两个等差数列{an}、{bn},若

*

a13a1?a2?????an3n?1

?,则=

b13b1?b2?????bn2n?3

20．等差数列{an}有2n+1项，其中奇数项的和是24,偶数项的和是18，那么这个数列的项数是_______

24已知等差数列{an}的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2等于____________ 12.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11?13. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a914.设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?5a3则

．

S9

?S5

15.等差数列?an?的前n项和为Sn，且6S5?5S3?5,则a4?16.

已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3?a7??12,a4?a6??4，则前10项的和S10=

17. 已知等差数列?an?的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于。 14．等差数列{an}中,3(a3?a5)?2(a7?a10?a13)?24,则此数列前13项和是__________． 15．已知等差数列{an}的公差d =

1

，且前100项和S100 = 145，那么a1 + a3 + a5 +…+a99 = . 2

16．等差数列{an}中，若a3+a5=a7－a3=24,则a2=______． 17．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于__ _． 18．设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项和为100，后2n项和是200，则该数列的中间n项和等于 ． 19．已知f(x+1)=x－4,等差数列{an}中,a1=f(x－1), a2=－值．

3?an

， (Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列； 2

(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；

2

3

,a3=f(x)．(1)求x值；（2）求a2+a5+a8+…+a26的2

20．已知数列{an}中，a1>0, 且an+1=

(Ⅲ)若a1 = 2，设bn = | an+1－an| (n = 1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn<

1． 2

21. 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式

8.已知数列?

?

11131?

a??,a??成等差数列，且，求a8的值。 ?35

67?an?2?

18、设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知a3?12，S12>0，S13<0， ①求公差d的取值范围；②S1,S2,

,S12中哪一个值最大？并说明理由.

19、设等差数列{an}的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）{an}的通项公式a n 及前ｎ项

的和S n ；（2）|a1|+|a2|+|a3|+……+|a14|.

20.已知等差数列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0,求{an}前n项和sn.

12、在等差数列?an?中，已知a1?20，前n项和为Sn，且S10?S15，求当n取何值时Sn有最大值，并求出它的最大值。